Halliday Physics Chapter 27

1. EMF and Real Batteries #

• EMF(\(\mathcal{E}\)): \(\mathcal{E} = \dfrac{\mathrm dW}{\mathrm dq}\)

• 실재 배터리: 내부 저항 \(r\) 존재 \(\Rightarrow\) \(i\) 흐를 때 \(V\) 감소

  • \(V = \mathcal{E} - ir\)

  • 전력 관계식

    • \(P = iV\)
    • \(P_{r} = i^2 r\)
    • \(P_{\text{emf}} = i \mathcal{E}\)

2. Kirchhoff's Laws #

• 제1법칙: Loop Rule

  • 닫힌 회로에서 \(\sum \Delta V = 0\)

• 제2법칙: Junction Rule

  • \(\sum i_{\text{in}} = \sum i_{\text{out}}\)

[Derivation] Series and Parallel Connection of Resistors #

• Series Connection

  증명

  \(R = R_1 + R_2 + \cdots + R_n\)

  저항 \(R_1\), \(R_2\), \(\cdots\), \(R_n\)이 직렬로 연결되어 있는 상황을 가정한다

  직렬연결에서는 전류가 흐를 수 있는 경로가 하나뿐이므로 모든 저항을 통과하는 전류가 같다

  \[I = I_1 = I_2 = \cdots = I_n\]

  Ohm's Law에 의해

  \[V_1 = IR_1,\ V_2 = IR_2,\ \cdots,\ V_n = IR_n\]

  Kirchhoff's voltage law에 의하여

  \[V = V_1 + V_2 + \cdots + V_n\]

  이를 대입하면

  \[R = R_1 + R_2 + \cdots + R_n\]
• Parallel Connection

  증명

  \(1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots + 1/R_n\)

  저항 \(R_1\), \(R_2\), \(\cdots\), \(R_n\)이 병렬로 연결되어 있는 상황을 가정한다

  병렬연결에서는 각 저항의 양끝이 같은 두 지점에 연결되어 있으므로 모든 저항에 걸리는 전압이 같다

  \[V = V_1 = V_2 = \cdots = V_n\]

  한편 Kirchhoff's current law에 의해

  \[I = I_1 + I_2 + \cdots + I_n\]

  Ohm's Law에 의하여

  \[1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots + 1/R_n\]

3. RC Circuit #

(1) 충전 #

• \(q_0 = C \mathcal{E},\ \tau = RC\)
• \(q(t) = C \mathcal{E} \left( 1 - e^{-t/RC} \right)\)
• \(i(t) = \dfrac{\mathrm dq}{\mathrm dt} = \dfrac{\mathcal{E}}{R} e^{-t/RC}\)

(2) 방전 #

• \(q(t) = q_0 e^{-t/RC}\)
• \(i(t) = \dfrac{\mathrm dq}{\mathrm dt} = - \dfrac{q_0}{RC} e^{-t/RC}\)