Halliday Physics Chapter 25

1. Capacitor and Capacitance #

• Capacitor: \(+q\), \(-q\)의 두 고립된 도체로 구성된 장치
• Capacitance(\(C\)): 양 극단 사이 \(V\)에 대해 전하량 \(Q\)를 저장하는 능력

• 주요 공식
  • Parallel Plate:
    \[C = \varepsilon_0 \dfrac{A}{d}\]

    증명

    \(Q = \sigma A\), \(E = \dfrac{\sigma} {\varepsilon_0} = \dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}\)

    \(\Delta V = Ed = \dfrac{Qd}{\varepsilon_0 A}\)

    \(C = \dfrac{Q}{\Delta V} = \dfrac{\varepsilon_0 A}{d}\)

  • Cylindrical:
    \[C = 2 \pi \varepsilon_0 \dfrac{L}{\ln (b/a)}\]

    증명

    By Gauss's Law,

    \[\oiint E \cdot \mathrm dA = E (2 \pi r L) = \dfrac{Q}{\varepsilon_0}\]

    Therefore \(E = \dfrac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 Lr}\), \(\displaystyle \Delta V = \int_{a}^{b} E\ \mathrm dr = \dfrac{Q \ln(b/a)}{2 \pi \varepsilon_0 L}\)

    Therefore \(C = \dfrac{Q}{\Delta V} = \dfrac{2 \pi \varepsilon_0 L}{\ln (b/a)}\)

  • Spherical:
    \[C = 4 \pi \varepsilon_0 \dfrac{ab}{b-a}\]

    증명

    By Gauss's Law,

    \[\oiint E \cdot \mathrm dA = E (4 \pi r^2) = \dfrac{Q}{\varepsilon_0}\]

    Therefore \(E = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{Q}{r^2}\), \(\displaystyle \Delta V = \int_{a}^{b} E\ \mathrm dr = \dfrac{Q(b-a)}{4 \pi \varepsilon_0 ab}\)

    Therefore \(C = \dfrac{Q}{\Delta V} = 4 \pi \varepsilon_0 \dfrac{ab}{b-a}\)

  • Isolated Sphere:
    \[C = 4 \pi \varepsilon_0 R\]

    증명

    Spherical capacitor의 capacitance 공식에서 \(a = R\), \(b = \infty\) 대입

2. Capacitors in Parallel and Series #

• Parallel connection: \(V\) 동일, \(C_{\text{eq}} = \sum C_i\)

  증명

  \(Q = CV = \sum Q_i = \sum C_i V\)

• Series connection: \(Q\) 동일, \(\dfrac{1}{C_{\text{eq}}} = \sum \dfrac{1}{C_i}\)

  증명

  \(V = \dfrac{Q}{C} = \sum V_i = \sum \dfrac{Q}{C_i}\)

3. Potential Energy and Energy Density #

(1) Potential Energy Stored in a Capacitor (\(\boldsymbol U\)) #

• \(\mathrm dW = V'\ \mathrm dq' = \dfrac{q'}{C} \mathrm dq'\)

• \(\displaystyle W = \int \mathrm dW = \int \dfrac{q'}{C}\ \mathrm dq' = \dfrac{1}{2C} q'^2\)

(2) Energy Density of Electric Field (\(\boldsymbol u\)) #

• 축전기 부피 \(V = Ad\)

• \(u\)의 정의: \(u = \dfrac{U}{V} = \dfrac{U}{Ad}\)

• \(C = \varepsilon_0 \dfrac{A}{d}\) 대입 → \(u = \dfrac{1}{Ad} \cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\varepsilon_0 A}{d} \right) V^2 = \dfrac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \dfrac{V}{d} \right)^2 = \dfrac{1}{2} \varepsilon_0 E^2\)

• 평행판 축전기를 가정하고 푼거긴 한데 다른 상황에서도 동일한 결과

4. Capacitance with a Dielectric #

• Dielectric Constant(\(\kappa\)): 유전체 고유의 상수 (\(\kappa > 1\))
  • Capacitance 증가: \(C = \kappa C_0\)
  • 모든 정전기 공식에서 \(\varepsilon = \kappa \varepsilon_0\)를 대입하면 성립

[고립된 축전기] #

• Net Electric Field: \(E = E_0 - E_{\text{d}} = \dfrac{E_0}{\kappa}\)

• Potential Difference: \(V = Ed = \dfrac{E_0}{\kappa} d = \dfrac{V_0}{\kappa}\)

• Capacitance: \(C = \kappa C_0\)

[외부 전원 \(V\) 연결] #

• Capacitance: 추가 공급 전하 \(\kappa q_0\) → \(C = \kappa C_0\)

5. Gauss's Law with a Dielectric #